1. Barisan Aritmatika
a Pengertian Barisan Aritmatika
Misalnya Un menyatakan suku ke-n suatu barisan,
Barisan itu disebut barisan aritmatika jika Un – Un-1 selalu
tetap.
Nilai Un –
Un-1 dinamakan beda disingkat dengan b.
Dengan kata lain barisan aritmatika adalah suatu
barisan yang mana selisih atau beda antara dua suku yang berurutan selalu
tetap.
Contoh.
1). 4, 6, 8, 10 adalah barisan aritmatika, karena 6-4 =
8-6 = 10-8 = 2
b. Suku
ke-n Barisan Aritmatika
Sesuai dengan definisi barisan
aritmatika seperti di atas apabila suku pertamanya adalah a dan bedanya adalah
b, maka barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk
a, (a+b), (a+2b),
(a+3b), ……….., [a+(n-1)b]
Sehingga suku ke-n dari barisan aritmatika adalah
Un = a + (n-1)b
dengan b =
Un – Un-1
Contoh
1. Buatlah sebuah barisan aritmatika dengan suku
awal 3 dan beda 5 sampai 5 suku pertama
Jawab:
Barisan tersebut adalah : 3 ,
(3+5), (3+2.5), (3+3.5), (3+4.5)
Atau 3,
8, 13, 18, 23
2.
Diberikan barisan aritmatika 3,
7, 11, 15,
………..
Tentukan : a. suku awal
dan beda
b. suku ke 100
c. suku ke-n
Jawab:
: a. suku awal
a= 3 dan beda
b = 7-3 = 4
b. suku ke 100 adalah U100 =
a+(100-1)b=3+(100-1)4=3+400-4=399
c. suku ke-n adalah Un = a+(n-1)b = 3+(n-1)4= 3+4n-4 =
4n-1
3.
Pada suatu barisan aritmatika diketahui U8 = 18 dan U15
= 46
Tentukan : a. suku awal dan beda
b. suku ke 10
c.
suku ke-n
Jawab
a. Suku awal dan beda
U15 = 46 a + 14b = 46
U8 = 18 a + 7b =
18 -
7b = 28
b = 4
a + 7b = 18
a + 7.4 = 18
a = 18-28 = -10
Jadi suku awal a = -10 dan beda b = 4
b. Suku ke 10 adalah U10
= a + 9b = -10 +9.4 = -10 + 36 = 26
c.
Suku ke-n adalah Un = a+(n-1)b =
-10 + (n-1)4 = -10 +4n-4 = 4n – 14
4. Suatu perusahaan batako pada bulan pertama dapat
memproduksi sebanyak 1.000 buah batako, karena penambahan tenaga kerja dan
peningkatan produksi perusahaahn tersebut setiap bulannya bisa menambah hasil
produksinya sebanyak 200 buah batako. Jika perkembangan produksi konstan, tentukan banyaknya hasil produksi
batako pada bulan ke-10 ?
Penyelesaian:
Karena perkembangan produksi
batako tetap berarti persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai barisan
aritmatika dengan suku awal a = 1.000
dan beda b =200
Banyaknya produksi batako pada
bulan ke-10 adalah
U10 = 1.000+ (10-1)x200
= 1.000 + 9x200
= 1.000 + 1.800
= 2.800 buah
U10 = 1.000+ (10-1)x200
= 1.000 + 9x200
= 1.000 + 1.800
= 2.800 buah
Latihan 2a.
1. Tulislah
5 suku pertama dari suatu barisan aritmatika dengan ketentuan
a. suku awal a = 4 dan beda b = 5
b. suku awal a = -105 dan beda b = 10
c. suku awal a = 27 dan beda = -5
2. Tulislah
5 suku pertama dari suatu barisan aritmatika dengan ketentuan
a. rumus suku ke-n Un = 5n + 8
b. rumus suku ke-n Un = 3n -14
c. rumus suku ke-n Un = 4 – 5n
3. Tentukan
beda dan suku ke 100 dari barisan aritmatika berikut ini:
a. 100,
80, 60, 40, ……..
b. -50, -35, -20, ……….
c. 107, 100, 93, ………..
4. Tentukan
suku umum BA berikut kemudian tentukan
suku berindeks seperti berikut
a. 11, 9, 7,……….. dan U25
b.
16,
12, 8, ……….
dan U100
c.
6, 11, 16, 21, …….. dan U40
5. Suatu
barisan aritmatika diketahui U2 = 5 dan U7 = 20. Tentukan U120
6. Suatu
barisan aritmatika diketahui U3 = 12 dan U6 = 0. Tentukan U2
7. Seorang
mandor suatu kontraktor pada awal bekerja diberikan gaji sebesar Rp
1.000.000 per bulan. Karena prestasi
kerjanya bagus, maka setiap tahun gajinya diberikan kenaikan sebesar Rp 200.000
per bulan. Tentukan besarnya gaji yang
ia terima per bulan pada saat masa kerjanya 16 tahun !
2.
Deret Aritmatika (DA)
Deret aritmatika adalah jumlah
suku-suku yang berurutan dalam barisan aritmatika. Jika suatu DA suku awalnya
adalah a, suku yang ke-n adalah Un , maka jumlah n buah suku Sn dapat dicari sebagai berikut :
Sn = a
+ (a+b) + (a+2b)
+ ………….. + (Un-2b) + (Un-b) + Un
Sn = Un+
(Un-b) + (Un-2b) + ………….. + (a+2b)
+ (a+b) + a
2 Sn = (a+Un) + (a+Un) +(a+Un)
+…………+(a+Un) +(a+Un) +(a+Un)
Sebanyak n suku
2 Sn = n(a+Un)
Sn = ½ n (a+Un). atau
Sn =½ n [2a+(n-1)b].
Contoh
1. Tentukan
jumlah semua bilangan bulat antara 10 dan 100 yang habis dibagi 5
Jawab:
Bilangan yang dimaksud adalah : 15 + 20 + 25 +
………. + 95
a = 15, b = 5, Un = 95
Un = a + (n-1)b
95 = 15 + (n-1)5
95 = 15 + 5n – 5
95 = 10 + 5n
5n = 85
n = 17
Sn =½ n [2a+(n-1)b].
S17 =½ .17 [2.15
+(17-1)5].
S17 =½ .17 [30 + 16.5].
S17 =½ .17 [30 + 80]
S17 =½ . 17 . 110
S17 =17 . 55
S17 = 935
Jadi jumlah semua bilangan bulat antara 10 dan 100 yang habis dibagi 5
adalah 935
2. Suatu DA diketahui suku ketiga adalah 9 dan
jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 36. Tentukan jumlah 10 suku yang pertama
!
Jawab
Un = a + (n-1)b
U5 + U7 =
36 (a+4b) +
(a+6b) = 36
2a + 10b = 36
a + 5b = 18
U3 = 9 a + 2b = 9 _
|
b = 3
a + 2b = 9
a + 2.3 = 9
a = 9-6 = 3
Jadi jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah
165
3. Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11
bilangan sehingga terjadi sebuah deret hitung. Tentukan jumlah dari deret
hitung yang terjadi !
Jawab
20 ……………………. 116
Disisipkan 11 bilangan
a = 20 ,
n = 13, Un = 116
S n = ½ n ( a + Un)
S13 = ½ .13 ( 20 + 116 ).
= ½ .13 . 136 = 884
Jadi
jumlah deret hitung yang terjadi
adalah 884
3. Seorang pelayan Toserba pada bulan
pertama mulai bekerja diberi upah Rp 200.000,- Karena pelayan tersebut terampil
bekerja dan jujur maka upahnya selalu dinaikkan Rp10.000 tiap bulan selama
tahun pertama. Hitunglah
a. Besarnya upah yang diterima pada bulan
terakhir
b. Besarnya upah yang ia terima selama
12 bulan
Jawab:
a. Karena kenaikan upah tetap berarti terjadi DA
dengan a=Rp 200.000 dan b =Rp 10.000
Besarnya
upah yg diterima pd bulan terakhir U12 = 200.000+11x10.000 = Rp310.000
b. Besarnya upah yang ia terima
selama 12 bulan S12 = ½ .12
(200.000 + 310.000)
= 6 x 510.000 = Rp
3.060.000
4. Pinjaman sebesar Rp 1.200.000 akan dilunasi
dalam satu tahun. Angsuran tiap bulan
Rp 100.000 ditambah bunga 1 %
dari sisa hutang. Hitunglah jumlah bunga
yang harus dibayar sampai hutangnya lunas !
Jawab
Bulan ke
: 1 2 ………… 12
Hutang :
1.200.000 1.100.000 ………….. 100.000
Bunga : 12.000 11.000 1.000
a =
12.000, b = -1.000, n = 12 U12 = 1.000
Sn
= ½ n (a + Un)
S12
= ½ .12 (12.000 + 1.000) = 6x13.000 = 78.000
Jadi
jumlah bunga yang harus dibayar sebesar Rp 78.000
Latihan 2b
1. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika
dinyatakan dengan Sn = n (n - 1) Tentukan lima suku pertama
2. Suatu DA diketahui suku kedua adalah 7 dan
jumlah suku keempat dan ketujuh adalah 38. Tentukan jumlah 100 suku yang
pertama !
3. Seorang pelayan Toserba pada bulan pertama
mulai bekerja diberi upah Rp 450.000,- Karena pelayan tersebut terampil bekerja
dan jujur maka upahnya selalu dinaikkan Rp20.000 tiap bulan selama tahun
pertama. Hitunglah
c. Besarnya upah yang diterima pada bulan
terakhir
d. Besarnya upah yang ia terima selama
12 bulan
4. Pembayaran sebesar Rp 850.000 diangsur
berturut-turut tiap bulan sebesar Rp 40.000; Rp 50.000; Rp 60.000 dan
seterusnya. Setelah berapa bulan pembayaran itu lunas ?
C. Rangkuman
1. Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang
mana selisih atau beda antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Barisan aritmatika dapat
dinyatakan dalam bentuk
a, (a+b), (a+2b),
(a+3b), ……….., [a+(n-1)b]
Suku ke-n dari barisan
aritmatika adalah
Un = a + (n-1)b
2. Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku yang
berurutan dalam barisan aritmatika. Jika suatu DA suku awalnya adalah a, suku yang ke-n adalah Un , maka jumlah n buah suku adalah
Sn = ½ n
(a+Un). atau
Sn =½ n [2a+(n-1)b].
D. Tugas
1. Tentukan
jumlah semua bilangan bulat yang terdiri dari 2 angka yang habis dibagi 3
2. Tentukan
banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari 4 angka
3. Suatu
DA diketahui suku ke-3 adalah 13 dan jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 46. Tentukan
jumlah 10 suku yang pertama !
4. Seutas tali dipotong menjadi 10 bagian yang
panjangnya masing-masing membentuk DA. Bagian potongan tali yang paling pendek
berukuran 2 m dan yang paling panjang 10 m. Hitung panjang tali seluruhnya !
5. Adi dan
Rita secara bersama-sama menabung di bank. Pada bulan pertama andi menabung Rp
10.000 dan Rita Rp 1.000. Kemudian tabungan mereka selalu dinaikkan setiap
bulan berikutnya, Andi sebesar Rp 1.000 dan Rita sebesar Rp 2.000. Hitunglah
setelah berapa bulankah tabungan mereka sama besar ?
Tidak ada komentar:
Posting Komentar