Barisan dan Deret Aritmatika

1.  Barisan Aritmatika

a Pengertian Barisan Aritmatika

Misalnya Un menyatakan suku ke-n suatu barisan,

Barisan itu disebut barisan aritmatika jika Un – U_n-1 selalu tetap.

Nilai  Un – Un-1 dinamakan beda disingkat dengan b. 

Dengan kata lain barisan aritmatika adalah suatu barisan yang mana selisih atau beda antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Contoh.

1). 4, 6, 8, 10      adalah barisan aritmatika, karena 6-4 = 8-6 = 10-8 = 2

2). 6, 3, 0, -3, …..   adalah barisan aritmatika , karena  3-6 = 0-3 = -3-0 =  -3

b.  Suku ke-n Barisan Aritmatika

Sesuai dengan definisi barisan aritmatika seperti di atas apabila suku pertamanya adalah a dan bedanya adalah b, maka barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), ……….., [a+(n-1)b]

Sehingga suku ke-n dari barisan aritmatika adalah

Un = a + (n-1)b

dengan b =    Un – U_n-1                 

Contoh

1.  Buatlah sebuah barisan aritmatika dengan suku awal 3 dan beda 5 sampai 5 suku pertama

Jawab:

Barisan tersebut adalah : 3 , (3+5), (3+2.5), (3+3.5), (3+4.5) 

                             Atau     3,  8,  13,  18,  23

2.  Diberikan barisan aritmatika 3,  7,  11,  15,  ………..

      Tentukan  : a.  suku awal  dan beda

                         b.  suku ke 100

                         c. suku ke-n

Jawab:

:                        a.  suku awal  a= 3       dan           beda  b = 7-3 = 4

                         b.  suku ke 100 adalah U₁₀₀ = a+(100-1)b=3+(100-1)4=3+400-4=399

                         c. suku ke-n  adalah Un = a+(n-1)b = 3+(n-1)4= 3+4n-4 = 4n-1

3.  Pada suatu barisan aritmatika diketahui U₈ = 18 dan U₁₅ = 46

      Tentukan  : a.  suku awal dan beda

                         b.  suku ke 10

                         c. suku ke-n

Jawab

a.  Suku awal dan beda

     U₁₅ = 46                                  a + 14b = 46

     U₈   = 18                                    a + 7b = 18      -

                                                        7b = 28

                                                          b = 4

     a + 7b = 18

     a + 7.4 = 18

     a = 18-28 = -10

     Jadi suku awal a = -10 dan beda b = 4

b.  Suku ke 10 adalah U₁₀ = a + 9b = -10 +9.4 = -10 + 36 = 26

c.  Suku ke-n  adalah Un = a+(n-1)b = -10 + (n-1)4 = -10 +4n-4 = 4n – 14

4.  Suatu perusahaan batako pada bulan pertama dapat memproduksi sebanyak 1.000 buah batako, karena penambahan tenaga kerja dan peningkatan produksi perusahaahn tersebut setiap bulannya bisa menambah hasil produksinya sebanyak 200 buah batako. Jika perkembangan produksi konstan, tentukan banyaknya hasil produksi batako pada bulan ke-10 ?

Penyelesaian:

Karena perkembangan produksi batako tetap berarti persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai barisan aritmatika dengan suku awal  a = 1.000 dan beda b =200

Banyaknya produksi batako pada bulan ke-10 adalah 
U₁₀  = 1.000+ (10-1)x200
         = 1.000 + 9x200
         = 1.000 + 1.800
         = 2.800 buah     

Latihan 2a.

1.  Tulislah 5 suku pertama dari suatu barisan aritmatika dengan ketentuan

a.  suku awal a = 4 dan beda b = 5                

b.  suku awal a = -105 dan beda b = 10   

c.  suku awal a = 27 dan beda = -5  

2.  Tulislah 5 suku pertama dari suatu barisan aritmatika dengan ketentuan

a.   rumus suku ke-n Un = 5n + 8

b.   rumus suku ke-n Un = 3n -14

c.   rumus suku ke-n Un = 4 – 5n

3.  Tentukan beda dan suku ke 100 dari barisan aritmatika berikut ini:

a.  100,  80,  60, 40, ……..

b.   -50, -35, -20, ……….

c.   107, 100, 93, ………..

4.  Tentukan suku umum BA  berikut kemudian tentukan suku berindeks seperti berikut

a.       11, 9, 7,………..         dan U₂₅

b.      16, 12, 8, ……….       dan U₁₀₀

c.       6, 11, 16, 21, ……..    dan U₄₀

5.  Suatu barisan aritmatika diketahui U₂ = 5 dan U₇ = 20.  Tentukan U₁₂₀

6.  Suatu barisan aritmatika diketahui U₃ = 12 dan U₆ = 0.  Tentukan U₂

7. Seorang mandor suatu kontraktor pada awal bekerja diberikan gaji sebesar Rp 1.000.000 per bulan.  Karena prestasi kerjanya bagus, maka setiap tahun gajinya diberikan kenaikan sebesar Rp 200.000 per bulan.  Tentukan besarnya gaji yang ia terima per bulan pada saat masa kerjanya 16 tahun !

2.  Deret Aritmatika  (DA)

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku yang berurutan dalam barisan aritmatika. Jika suatu DA suku awalnya adalah a,  suku yang ke-n  adalah Un , maka jumlah n buah suku  S_n dapat dicari sebagai berikut :

S_n = a   +  (a+b)  +  (a+2b)  + ………….. + (Un-2b) + (Un-b) + Un

S_n = Un+ (Un-b) + (Un-2b) + ………….. + (a+2b)  +   (a+b)  +  a

           2 S_n = (a+Un) + (a+Un) +(a+Un) +…………+(a+Un) +(a+Un) +(a+Un)

                                                       Sebanyak n suku

           2 Sn = n(a+Un)

               Sn = ½ n (a+Un).  atau

               Sn =½ n [2a+(n-1)b].

Contoh

1.  Tentukan jumlah semua bilangan bulat antara 10 dan 100 yang habis dibagi 5

Jawab:

Bilangan yang dimaksud adalah : 15 + 20 + 25 + ………. + 95

a = 15,     b = 5,  Un = 95

Un = a + (n-1)b

95 = 15 + (n-1)5

95 = 15 + 5n – 5

95 = 10 + 5n

5n = 85

n = 17

Sn =½ n [2a+(n-1)b].

S₁₇ =½ .17 [2.15 +(17-1)5].

S₁₇ =½ .17 [30 + 16.5].

S₁₇ =½ .17 [30 + 80]

S₁₇ =½ . 17 . 110

S₁₇ =17 . 55

S₁₇ = 935

   Jadi jumlah semua bilangan bulat antara 10 dan 100 yang habis dibagi 5 adalah 935

2.  Suatu DA diketahui suku ketiga adalah 9 dan jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 36. Tentukan jumlah 10 suku yang pertama !

Jawab

Un = a + (n-1)b

U₅ +  U₇ = 36                       (a+4b) + (a+6b)  = 36

                                                       2a + 10b = 36

a + 5b = 18                 

U₃ = 9                         a + 2b = 9   _      

S n  = ½ n [2a+(n-1)b]. S10 = ½ .10 [2.3+(10-1)3]. S10 = 5 [6 + 27]. S10 = 5 . 33  = 165

                                         3b = 9             

                                           b = 3              

a + 2b = 9                         

a + 2.3 = 9                        

a = 9-6   = 3                                 

Jadi jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah 165

3.  Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga terjadi sebuah deret hitung. Tentukan jumlah dari deret hitung yang terjadi !

Jawab

          20 ……………………. 116

              Disisipkan 11 bilangan

a = 20 ,            n = 13,                Un = 116

S _n   = ½ n ( a + Un)

S₁₃  = ½ .13 ( 20 + 116 ).

       = ½ .13 . 136    = 884

Jadi  jumlah  deret hitung yang terjadi adalah 884

3.      Seorang pelayan Toserba pada bulan pertama mulai bekerja diberi upah Rp 200.000,- Karena pelayan tersebut terampil bekerja dan jujur maka upahnya selalu dinaikkan Rp10.000 tiap bulan selama tahun pertama. Hitunglah

a.       Besarnya upah yang diterima pada bulan terakhir

b.      Besarnya upah yang ia terima selama 12 bulan

Jawab:

a. Karena kenaikan upah tetap berarti terjadi DA dengan a=Rp 200.000 dan b =Rp 10.000

    Besarnya upah yg diterima pd bulan terakhir U₁₂  = 200.000+11x10.000 = Rp310.000         

b. Besarnya upah yang ia terima selama 12 bulan S₁₂  = ½ .12 (200.000 + 310.000)

                                                                                       = 6 x 510.000 = Rp 3.060.000

4.  Pinjaman sebesar Rp 1.200.000 akan dilunasi dalam satu tahun. Angsuran tiap bulan       Rp 100.000 ditambah bunga 1 % dari sisa hutang.  Hitunglah jumlah bunga yang harus dibayar sampai hutangnya lunas !

Jawab

Bulan ke :       1                        2         …………        12

Hutang   :  1.200.000        1.100.000  ………….. 100.000

Bunga    :     12.000              11.000                         1.000

a = 12.000,       b = -1.000,            n = 12                U₁₂ = 1.000

S_n = ½ n (a + Un)

S₁₂ = ½ .12 (12.000 + 1.000) = 6x13.000 = 78.000

Jadi jumlah bunga yang harus dibayar sebesar Rp 78.000

Latihan 2b

1.  Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n (n - 1) Tentukan lima suku pertama

2.  Suatu DA diketahui suku kedua adalah 7 dan jumlah suku keempat dan ketujuh adalah 38. Tentukan jumlah 100 suku yang pertama !

3.  Seorang pelayan Toserba pada bulan pertama mulai bekerja diberi upah Rp 450.000,- Karena pelayan tersebut terampil bekerja dan jujur maka upahnya selalu dinaikkan Rp20.000 tiap bulan selama tahun pertama. Hitunglah

c.       Besarnya upah yang diterima pada bulan terakhir

d.      Besarnya upah yang ia terima selama 12 bulan

4.  Pembayaran sebesar Rp 850.000 diangsur berturut-turut tiap bulan sebesar Rp 40.000; Rp 50.000; Rp 60.000 dan seterusnya. Setelah berapa bulan pembayaran itu lunas ?

C. Rangkuman

1.   Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang mana selisih atau beda antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), ……….., [a+(n-1)b]

Suku ke-n dari barisan aritmatika adalah

Un = a + (n-1)b

2.  Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku yang berurutan dalam barisan aritmatika. Jika suatu DA suku awalnya adalah a,  suku yang ke-n  adalah Un , maka jumlah n buah suku  adalah

               Sn = ½ n (a+Un).  atau

               Sn =½ n [2a+(n-1)b].

D. Tugas

1.  Tentukan jumlah semua bilangan bulat yang terdiri dari 2 angka yang habis dibagi 3

2.  Tentukan banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari 4 angka

3. Suatu DA diketahui suku ke-3 adalah 13 dan jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 46. Tentukan jumlah 10 suku yang pertama !

4.  Seutas tali dipotong menjadi 10 bagian yang panjangnya masing-masing membentuk DA. Bagian potongan tali yang paling pendek berukuran 2 m dan yang paling panjang 10 m. Hitung panjang tali seluruhnya !

5. Adi dan Rita secara bersama-sama menabung di bank. Pada bulan pertama andi menabung Rp 10.000 dan Rita Rp 1.000. Kemudian tabungan mereka selalu dinaikkan setiap bulan berikutnya, Andi sebesar Rp 1.000 dan Rita sebesar Rp 2.000. Hitunglah setelah berapa bulankah tabungan mereka sama besar ?